Binārā, decimālā, astotā un heksadecimālā sistēma, kas tā ir un kā tā darbojas

Ja esat datorzinātņu, elektronikas vai jebkuras inženierzinātņu nozares students, viena no lietām, kas jums jāzina, ir numerācijas sistēmas konvertēšana. Datorā izmantotās numerācijas sistēmas atšķiras no tām, kuras mēs parasti zinām, tāpat kā mūsu decimālā sistēma. Tāpēc, ļoti iespējams, ja mēs veltīsimies gan skaitļošanas, gan programmēšanas, gan līdzīgu tehnoloģiju jomai, mums būs jāzina visvairāk izmantotās sistēmas un tas, kā jāzina, kā pārveidot no vienas sistēmas uz otru.

Satura rādītājs

Kā veikt numerācijas sistēmas konvertēšanu

Īpaši noderīgi ir zināt decimālā skaitļa pārveidošanas sistēmu binārā un otrādi, jo tā ir numerācijas sistēma, ar kuru datora komponenti darbojas tieši. Bet ir arī ļoti noderīgi zināt heksadecimālo sistēmu, jo to izmanto, piemēram, krāsu kodu, atslēgu un liela skaita mūsu komandas kodu attēlošanai.

Numerācijas sistēmas

Numerācijas sistēma sastāv no simbolu kopas un noteikumu attēlojuma, kas ļauj mums izveidot derīgus numurus. Citiem vārdiem sakot, tas sastāv no ierobežotu simbolu sērijas, ar kuru palīdzību bez jebkādām robežām būs iespējams veidot citas skaitliskās vērtības.

Pārāk neiedziļinoties definīciju matemātiskajā izteiksmē, sistēmas, kuras cilvēki un mašīnas izmanto visbiežāk, būs šādas:

Decimālā sistēma

Tā ir pozicionēšanas numerācijas sistēma, kurā lielumus attēlo ar skaitļa desmit aritmētisko bāzi.

Tā kā bāze ir skaitlis desmit, mums būs iespēja uzbūvēt visus skaitļus, izmantojot desmit ciparus, kurus mēs visi zinām. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9. Šie skaitļi tiks izmantoti, lai attēlotu 10 spēku pozīciju jebkura skaitļa veidošanā.

Tātad šajā numerācijas sistēmā numuru varētu attēlot šādā veidā:

Mēs redzam, ka decimālskaitlis ir katras vērtības summa no bāzes 10, kas pacelta līdz pozīcijai-1, kuru katrs termins aizņem. Mēs to paturēsim prātā reklāmguvumiem citās numerācijas sistēmās.

Binārā sistēma

Binārā sistēma ir numerācijas sistēma, kurā tiek izmantota aritmētiskā bāze 2. Šo sistēmu datori un digitālās sistēmas izmanto iekšēji absolūti visu procesu veikšanai.

Šī numerācijas sistēma ir attēlota tikai ar diviem cipariem, 0 un 1, tāpēc tās pamatā ir 2 (divi cipari), un ar to tiks izveidotas visas vērtību ķēdes.

Oktālā sistēma

Tāpat kā iepriekšējos skaidrojumos, mēs jau varam iedomāties, kas tas ir par oktāles sistēmu. Octal sistēma ir numerācijas sistēma, kurā tiek izmantota aritmētiskā bāze 8, tas ir, mums būs 8 dažādi cipari, kas attēlo visus numurus. Tie būs: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 un 7.

Heksadecimālā sistēma

Pēc iepriekšējām definīcijām decimālā numerācijas sistēma ir pozicionālās numerācijas sistēma, kuras pamatā ir skaitlis 16. Šajā brīdī mēs sev jautāsim, kā mēs iegūsim 16 dažādus skaitļus, ja, piemēram, 10 ir divu skaitļu kombinācija atšķirīgs?

Nu, ļoti vienkārši, mēs viņus izgudrojām nevis mēs, bet gan tie, kas izgudroja attiecīgo sistēmu. Cipari, kas mums šeit būs, būs: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E un F. tas kopā veido 16 dažādus terminus. Ja esat kādreiz iestatījis krāsas ciparu kodu, tai ir šāda veida numerācija, un tāpēc redzēsit, kā, piemēram, baltā krāsa tiek parādīta kā vērtība FFFFFF. Mēs redzēsim vēlāk, ko tas nozīmē.

Konversija starp bināro un decimālo sistēmu

Tā kā tas ir visvienkāršākais un saprotamākais, mēs vispirms sāksim konvertēt starp šīm divām numerācijas sistēmām.

Konvertēt skaitli no binārā uz decimālo

Kā mēs redzējām pirmajā sadaļā, mēs pārstāvam decimālo skaitli kā vērtību summu, kas reizināta ar 10 jaudu līdz pozīcijai-1, kuru tā aizņem. Ja to piemērosim jebkuram bināram skaitlim ar atbilstošo bāzi, mums būs šāds:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Bet, protams, ja mēs veiktu procedūru kā decimālajā sistēmā, mēs iegūtu citas vērtības, nevis 0 un 1, kuras mēs varam attēlot tikai šajā numerācijas sistēmā.

Bet tieši tas būs ļoti noderīgi, lai veiktu konvertēšanu uz decimālo sistēmu. Aprēķināsim katras vērtības rezultātu lodziņā:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Ja mēs veidosim šo vērtību summu, kas iegūta no katras šūnas, iegūsim binārās vērtības decimālo ekvivalentu.

Decimālā vērtība 100110 ir 38

Mums vajadzēja tikai reizināt ciparu (0 vai 1) ar tā pamatni (2), kas pacelta līdz 1. pozīcijai, kuru tā aizņem attēlā. Mēs pievienojam vērtības, un mums būs cipars aiz komata.

Ja jūs neesat pārliecināts, mēs tagad veiksim pretēju procesu:

Pārvērtiet decimālo skaitli uz bināro

Ja pirms tam mēs reizinājām skaitļus un summu, lai noteiktu vērtību decimāldaļās, tagad tas, kas mums būs jādara, ir dalīt decimālo skaitli ar tās sistēmas bāzi, kurā vēlamies to pārveidot, šajā gadījumā 2.

Mēs veiksim šo procedūru, līdz vairs nav iespējams veikt turpmāku dalīšanu. Redzēsim piemēru, kā tas tiktu darīts.

Skaits	38	19	9	4	2	1
Nodaļa	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Atpūta	0	1	1	0	0	1

Tas ir rezultāts, samazinot secīgo sadalījumu līdz minimumam. Jūs, iespējams, jau esat sapratuši, kā tas darbojas. Ja tagad ņemsim katra dalījuma atlikušās daļas un apgriezīsim tās pozīciju, iegūsim decimālā skaitļa bināro vērtību. Tas ir, sākās no vietas, kur mēs beidzām dalīšanu atpakaļ:

Tātad mums ir šāds rezultāts: 100110

Kā redzam, mums ir izdevies iegūt tieši tādu pašu numuru kā sadaļas sākumā.

Daļēja decimālā skaitļa konvertēšana uz bināru

Kā mēs labi zinām, ir ne tikai veseli decimālie skaitļi, bet mēs varam atrast arī reālos skaitļus (frakcijas). Un kā numerācijas sistēmai vajadzētu būt iespējai konvertēt skaitli no decimālās sistēmas uz bināro sistēmu. Mēs redzam, kā to izdarīt. Kā piemēru ņemsim numuru 38 375

Mums jādara atsevišķi katra daļa. Mēs jau zinām, kā aprēķināt veselas skaitļa daļu, tāpēc mēs pāriesim tieši uz decimālo daļu.

Procedūra būs šāda: mums jāņem decimālā daļa un jāreizina ar sistēmas bāzi, tas ir, 2. Reizināšanas rezultāts mums to atkal jāpareizina, līdz iegūstam 0 daļu. Ja reizinot, frakcionēts skaitlis parādās ar vesela skaitļa daļu, mums būs jāņem frakcija tikai nākamajai reizināšanai. Apskatīsim piemēru, lai to labāk saprastu.

Skaits	0, 375	0.75	0.50
Reizināšana	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Visa daļa	0	1	1

Kā redzam, mēs ņemam decimālo daļu un reizinām to vēlreiz, līdz sasniegsim 1, 00, kur rezultāts vienmēr būs 0.

Rezultāts 38, 375 binārā formātā būs 100 110, 011

Bet kas notiek, ja procesa laikā mēs nekad nevaram sasniegt rezultātu 1, 00? Apskatīsim piemēru ar 38, 45

Skaits	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0.20	0.40	0, 80
Reizināšana	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Visa daļa	0	1	1	1	0	0	1

Kā redzam , no 0, 80 process kļūst periodisks, tas ir, mēs nekad nepabeigsim procedūru, jo vienmēr parādīsies skaitļi no 0, 8 līdz 0, 4. Tad mūsu rezultāts būs decimālā skaitļa tuvinājums, jo tālāk mēs ejam, jo ​​lielāku precizitāti iegūsim.

Tātad: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Redzēsim, kā veikt apgriezto procesu

Daļēja binārā skaitļa pārvēršana decimāldaļās

Šis process tiks veikts tāpat kā parastās bāzes maiņas, izņemot to, ka komatam pilnvaras būs negatīvas. Ņemsim tikai iepriekšējā binārā skaitļa skaitli:

0	1	1	1	0	0	1	…
0 · 2 –1 = 0	1, 2 · -2 = 0, 25	1, 2 · 3 = 0, 125	1, 2–4 = 0, 0625	1 · 2 –5 = 0	1 · 2 –6 = 0	1, 2 · 7 = 0, 0078125	…

Ja pievienosim rezultātus, mēs iegūsim:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Ja mēs turpinātu veikt operācijas, mēs pietuvotos tuvāk precīzai vērtībai 38, 45

Konversija starp oktālo sistēmu un bināro sistēmu

Tagad mēs redzēsim, kā veikt konvertēšanu starp divām sistēmām, kas nav zīmes aiz komata, šim nolūkam mēs izmantosim oktālo sistēmu un bināro sistēmu un veiksim to pašu procedūru, kas iepriekšējās sadaļās.

Konvertēt skaitli no binārā uz astoņdaļu

Pārveidošana starp abām numerācijas sistēmām ir ļoti vienkārša, jo oktālās sistēmas pamatne ir tāda pati kā binārajā sistēmā, bet tiek paaugstināta uz jaudu 3, 2 ³ = 8. Tāpēc, balstoties uz to, mēs gatavojamies sagrupēt bināros terminus trīs grupās, sākot no labās puses uz kreiso un tieši konvertēt uz decimālo skaitli. Apskatīsim piemēru ar numuru 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Mēs grupējam ik pēc trim cipariem un veicam konvertēšanu uz decimālzīmēm. Gala rezultāts būs tāds, ka 100110 = 46

Bet kā būtu, ja mums nebūtu perfektu 3 cilvēku grupu? Piemēram, 1001101, mums ir divas grupas no 3 un viena no 1, redzēsim, kā rīkoties:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Pēc procedūras mēs ņemam grupas no vārda labās malas un, kad esam nonākuši līdz beigām, piepildām ar tik daudz nullēm, cik nepieciešams. Šajā gadījumā mums vajadzēja divus, lai pabeigtu pēdējo grupu. Tātad 1001101 = 115

Konvertējiet astoņdaļas skaitli uz bināru

Procedūra ir tikpat vienkārša kā pretēja darbība, tas ir, pāreja no binārā uz decimāldaļu grupās pa 3. Redzēsim to ar skaitli 115

Vērtība	1	1	5
Nodaļa	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Atpūta	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Grupa	001	001	101. lpp

Tādā veidā mēs redzam, ka 115 = 001001101 vai kas ir tas pats 115 = 1001101

Konversija starp oktālo sistēmu un decimālo sistēmu

Tagad mēs redzēsim, kā veikt pāreju no oktālā skaitļu sistēmas uz decimālo un otrādi. Mēs redzēsim, ka procedūra ir tieši tāda pati kā decimālās un bināras sistēmas gadījumā, tikai mums jāmaina bāze uz 8, nevis 2.

Mēs veiksim procedūras tieši ar noteikumiem ar nelielu daļu.

Pārvērtiet decimālo skaitli uz astoņdaļu

Pēc decimāl-binārās metodes procedūras to veiksim ar 238.32 piemēru:

Visa daļa. Mēs dalām ar bāzi, kas ir 8:

Skaits	238. lpp	29	3
Nodaļa	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Atpūta	6	5	3

Decimāldaļu, mēs reizinām ar bāzi, kas ir 8:

Skaits	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Reizināšana	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Visa daļa	2	4	3	6	5	…

Iegūtais rezultāts ir šāds: 238, 32 = 356, 24365…

Konvertējiet astoņdaļas numuru uz komatu

Tad darīsim pretēju procesu. Pārskaitīsim astoņdaļas numuru 356 243 aiz komata:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Rezultāts ir: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Konvertācija starp heksadecimālo sistēmu un decimālo sistēmu

Pēc tam mēs pabeidzam pārveidošanas procesu starp heksadecimālo numerācijas sistēmu un decimālo sistēmu.

Pārvērtiet decimālo skaitli uz heksadecimālo

Pēc decimāl-binārā un decimālā-oktālā metodes procedūras to veiksim ar 238.32 piemēru:

Visa daļa. Mēs dalām ar bāzi, kas ir 16:

Skaits	238. lpp	14
Nodaļa	÷ 16 = 14	-
Atpūta	E	E

Decimāldaļu, mēs reizinām ar bāzi, kas ir 16:

Skaits	0, 32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Reizināšana	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Visa daļa	5	1	E	B	8	…

Iegūtais rezultāts ir šāds: 238, 32 = EE, 51EB8…

Pārvērst skaitli no heksadecimālā uz decimālo

Tad darīsim pretēju procesu. Nodosim heksadecimālo skaitli EE, 51E aiz komata:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Rezultāts ir: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Šie ir galvenie veidi, kā mainīt bāzi no vienas numerācijas sistēmas uz otru. Sistēma ir piemērojama jebkuras bāzes un decimālās sistēmas sistēmai, lai arī skaitļošanas jomā tos visbiežāk izmanto.

Jūs varētu interesēt arī:

Ja jums ir kādi jautājumi, atstājiet tos komentāros. Mēs centīsimies jums palīdzēt.